Sadržaj:
- Grci
- Black & Scholes
- Delta
- Gama
- Tri načina za izračunavanje promjene vrijednosti pozicije
- 1. Izračunavanje dobiti pomoću novčanog toka
- 2. Izračunavanje dobiti pomoću Delte
- 3. Izračunavanje dobiti pomoću gama
Grci
Grci - delta, gama, theta, vega i rho - pet su varijabli koje pomažu identificirati rizike pozicije opcije.
Rizici s kojima se investitori suočavaju u opcijama nisu jednodimenzionalni. Da bi se mogao nositi s promjenjivim tržišnim uvjetima, investitor treba biti svjestan veličine tih promjena. Da bi se utvrdilo jesu li promjene velike ili male, stvaraju li glavni ili manji rizik, teorija opcija i modeli cijena opcija pružaju investitorima varijable koje identificiraju karakteristike rizika njihove pozicije opcije. Te se varijable nazivaju Grcima. Pet je Grka koje nadgledamo: delta, gama, theta, vega i rho.
Budući da su Grci derivati formule Black & Scholes, počet ćemo objašnjavajući još nešto o tome.
Black & Scholes
Formula Black i Scholes, ponekad poznata i kao formula Black, Scholes i Merton, tržišni je standardni alat za opcije određivanja cijena. Ova formula cijene opcija u funkciji trenutne cijene dionice S 0, vremena do dospijeća opcije T, njenog udara X, volatilnosti σ i kamatne stope r:
poziv = S 0 N (d 1) - Xe -rT N (d 2)
put = Xe -rT N (-d 2) - S 0 N (-d 1) sa
gdje je N (x) kumulativna funkcija normalne raspodjele za standardnu normalnu raspodjelu, tj. vjerojatnost da je slučajna varijabla ~ N (0,1) (sa standardnom normalnom raspodjelom) manja od x.
Prije rasprave o formuli, navedimo temeljne pretpostavke. Formula Black i Scholes pretpostavlja:
- Povrati su IID (neovisni i identično raspoređeni) s normalnom raspodjelom.
- Buduća nestabilnost je poznata i stalna.
- Buduća kamatna stopa je poznata, stalna i ista za posuđivanje i pozajmljivanje.
- Staza dionica je kontinuirana i moguće je kontinuirano trgovanje.
- Troškovi transakcije su ništavni.
Za razvoj teorije pretpostavljamo da vrijede sve ove pretpostavke. Ova je formula tržišni standard jer je izuzetno robusna s obzirom na kršenje njezinih pretpostavki.
Delta
Prva grčka o kojoj će se raspravljati je delta. U osnovi je delta osjetljivost teoretske vrijednosti opcije na promjenu cijene osnovnog ugovora. Jednostavnije, delta je promjena vrijednosti opcije kada osnovna vrijednost poraste za 1 dolar. Na primjer:
Δ poziv = ∂c / ∂S = N (d 1) i Δ put = ∂p / ∂S = N (d 1) - 1,
s N (d 1) kao u formuli BS.
Vrijednost call opcije povećava se kada cijena dionice raste, pa je delta call opcije pozitivna. Suprotno tome, vrijednost prodajne opcije smanjuje se kad cijena dionice raste, pa je delta prodajne opcije negativna.
Može se primijetiti da je N (x) funkcija gustoće vjerojatnosti, pa uzima vrijednost u. Delta jednog poziva je tada uvijek unutra i delta jednog ulaza. Budući da je osnovna razina obično 100 dionica, delta opcije se pomnoži sa 100. Na primjer, opcija s deltom od 0,25 smatra se delta 25. Što je veća delta, promjena vrijednosti opcije bit će sličnija biti na temeljnoj zalihi. Vrijednost opcije s delta 100 kretat će se točno istom brzinom kao i temeljna dionica. Također imajte na umu da je operacija izvedenice linearna pa možemo izračunati deltu svake opcije i zbrojiti ih da bismo dobili deltu cijelog portfelja (to onda može biti i izvan naravno).
Kad se opcija približi isticanju, njezina delta će se promijeniti, jer se mijenja vjerojatnost isteka novca ili novca, a normalna raspodjela sužava i centrira oko srednje vrijednosti. Kako se opcija bliži isteku, opcije s novcem kretat će se prema delti 100, a opcije bez novca prema delti 0. S druge strane, opcije s novcem ostat će oko delte 50.
Kako se temeljne dionice mijenjaju u cijeni, mijenja se i delta. To se može očekivati jer je d 1 funkcija cijene dionice.
Delta poziva
Praktično tumačenje delte je omjer zaštite: iznos dionica koji bi se trebao kupiti ili prodati kako bi se neutralizirao smjerni rizik opcije. Iz formule BS možemo vidjeti još jedno tumačenje. Grubo govoreći, možemo reći da je delta opcije vjerojatnost isteka novca. (Za put ćemo uzeti apsolutnu vrijednost). Ova aproksimacija djeluje samo za europske opcije.
Sumirajući, postoje tri tumačenja delte:
- Promjena vrijednosti opcije ako se temeljna vrijednost poveća za 1 dolar.
- Omjer zaštite: broj dionica koje će se kupiti ili prodati kako bi se neutralizirao smjerni rizik pozicije.
- Šansa da će opcija biti u novcu po isteku
→ OTM pozivi: delta ima tendenciju na 0 kako se približavamo isteku.
→ ITM pozivi: delta ima tendenciju na 100 kako vrijeme prolazi.
Delta stava naspram osnovne cijene
Delta naspram volatilnosti
Kako se volatilnost povećava (smanjuje), delta poziva ide prema (daleko od) 0,50, a delta puta prema (dalje od) -0,50. Dakle, ako se volatilnost poveća (smanji), delta opcije novca smanjuje se (povećava). U slučaju opcije bez novca, ovo je upravo suprotno.
Delta naspram vremena
Kako se vrijeme smanjuje, delta poziva odmiče se od 0,50, a delta puta od -0,50. Kako vrijeme prolazi, delta novčanog poziva kreće se prema 1, a delta out novca prema 0.
Gama
Gama je derivat delte u ovisnosti o cijeni dionice. Budući da je delta izvedenica vrijednosti opcije kao funkcija temeljne dionice, gama je promjena delte kada se cijena dionice poveća za 1 dolar. Napisano je kako slijedi:
Γ = δ 2 c / δS 2 = N '(d 1) / S 0 σ √T
s d 1 kao u formuli BS i N 'prvi derivat Gaussove funkcije kumulativne gustoće, to je uobičajena Gaussova gustoća:
Gama naspram cijene dionice, gama naspram vremena
Često se kaže da gama doseže maksimalnu vrijednost kada je opcija bankomat. To je ispravno kao prva aproksimacija, međutim, stvarni maksimum postiže se kad je cijena dionice malo ispod cijene udara. Ovaj je učinak prikazan u lijevom dijelu gornje slike za trgovanje dionicama od 100 dolara. Dao opomenu X, hlapljivosti, protjecanja rate R, i vrijeme do isteka T, dionica vrijednosti daje maksimalnu y je S max Γ = Xe - (r + 3σ ^ 2/2) T.
Gama krivulja poziva i stava identične su. To je u skladu s onim što smo rekli o pozivima i općenito, kao i gama do sada.
Kako se vrijeme do isteka smanjuje, povećavaju se gama i teta opcija s novcem. Neposredno prije isteka, ove varijable mogu postati dramatično velike.
Gama naspram vremena
Kao što prikazuje gornja slika, graf se sužava, ali ukupna površina ispod grafa ostaje nepromijenjena. Kao posljedica toga, graf dobiva puno viši vrh. Gornji vrh simbolizira povećanje gama i theta kako se vrijeme do isteka smanjuje.
Zbog ponašanja poziva ITM, ATM i OTM, vidimo da će se krivulja delta zaoštriti oko štrajka kako se bliži istek. Stoga će se gama za ATM opciju povećavati kako vrijeme prolazi. To, međutim, ne vrijedi za OTM i ITM opcije.
Gama je važan parametar rizika jer određuje koliko novca možemo dobiti ili izgubiti na našem delta neutralnom portfelju dok se cijena dionica mijenja. U sljedećem ćemo primjeru procijeniti P / L pozicije opcije kao posljedicu pomicanja temeljnog sloja. Pretpostavit ćemo konstantnu gama od 2,7, pa se delta mijenja za 2,7 po dolaru.
Pretpostavimo da 80 poziva kupujemo 1000 puta po 5,52 s cijenom dionice od 79 dolara. Da bismo bili delta neutralni, trebali bismo prodati 51.100 dionica. Cijena dionica razvija se na sljedeći način:
t = | Cijena dionice |
---|---|
0 |
79 |
1 |
84 |
2 |
76 |
3 |
79 |
Na t = 1 i t = 2, prilagodim svoju živicu kako bih bila delta neutralna. Na t = 3 zatvorim svoj položaj.
Tri načina za izračunavanje promjene vrijednosti pozicije
Evo tri načina za izračunavanje promjene vrijednosti naše pozicije, prvi pomoću novčanog toka, drugi pomoću delte i treći pomoću gama.
1. Izračunavanje dobiti pomoću novčanog toka
Prvo promatramo novčane tokove, kao što je prikazano u donjoj tablici. Drugi stupac prikazuje novčane tijekove povezane s pozivom, a treći koji se odnosi na moju poziciju na dionicama. Posljednji redak sažima sve:
Tako na kraju ostvarimo dobit od 132.300. Ako smo duge opcije i stoga imamo dugu gama poziciju, moramo kupiti dionice ako se cijena dionica smanji i prodati dionice ako se cijena dionica poveća (kupujte nisko, prodajte visoko), tako da uvijek stvorimo dobit ako se dionica pomakne. Provjerite sami da li ovo vrijedi i za pozive i za pozive.
2. Izračunavanje dobiti pomoću Delte
Sada razmatramo drugi način za izračunavanje dobiti. Trgovine su iste, samo se obračun dobiti razlikuje. Tom metodom istovremeno razmatramo opciju i poziciju dionica. Imamo dionicu kao živicu za opciju, pa razmotrimo samo ukupnu delta poziciju. Počinjemo delta neutralno. Tada se dionice pomiču, dobivamo delte. (Izračunavamo delte koje dobivamo koristeći razliku između dviju zadanih delta za zadane početne i završne vrijednosti dionica. Da bismo dobili prosječnu deltu tijekom premještanja, uzimamo ovu vrijednost podijeljenu s dva). Portfelj dobiva na vrijednosti prema svojim deltama kako je objašnjeno u nastavku.
U ovom slučaju koristimo metodu prosječne delte. Odnosno, mi:
- Izračunajte prosječnu delta poziciju tijekom premještanja dionica.
- Pomnožite to s intervalom za izračunavanje dobiti.
U trenutku t živimo se pa kupujemo / prodajemo dionice tako da je delta ponovno neutralna.
Pogledajmo ovo pažljivije:
- Na t = 0, trgovanje dionicama 79, započinjemo delta neutralni položaj, odnosno imamo 51.100 dionica
- Na t = 1, dionice trguju 84. Delta pozicije opcije iznosi 64,6 * 1000 (od opcija) -51100 (od dionica). Između t = 0 i t = 1, moj položaj delte kretao se od 0 do 13.500. Tada je moja prosječna delta za potez bila (13.500 + 0) / 2 = 6750 (6,75 po pozivu). Da bih izračunao PnL svoje pozicije, pomnožim ove delte s količinom kretanja dionica: 6570 * 5 = 33.750 dolara. Da bih ostvario ovu dobit, trebam prodati dionice kako bi ponovno bili delta neutralni.
- Na t = 2, trgovanje dionicama 76. Delta moje opcije pozicije je 43,0 * 1000, a delta moje pozicije dionice je -64600…
Primjer izračunavanja dobiti pomoću Gama.
3. Izračunavanje dobiti pomoću gama
U gornjem primjeru izračunali smo prosječni položaj delte uzimajući prosjek početnog položaja delte i konačnog položaja delte. To se također može postići korištenjem gama, jer gama definira promjenu delte po dolaru.
Pojasnimo kako:
- Pri t = 0, trgovanje dionicama 79, delta neutralno, gama je 2.700.
- Na t = 1, dionice trguju s 84. Dionice su pomaknute za 5, tako da je moja nova delta pozicija 5 * 2.700. Na početku poteza moja delta bila je 0, tako da je moja prosječna delta 5 * 2.700 / 2. Dionica se pomaknula za 5, tako da je portfelj dobio 5 * prosječna delta = 5 * 5 * 2,700 / 2. Portfelj je zaštićen tako da je delta ponovno 0. To nazivamo "skalpiranjem gama". Duga gama pozicija omogućuje vam kupnju niske i visoko prodaju.
- Na t = 2, dionice trguju 76. Ovo je potez od 8 dolara, moja nova pozicija u delti je 8 * 2700…
Sljedeću generičku formulu možemo upotrijebiti ako pođemo od delta neutralnog portfelja:
P / L = primicemove ^ 2 * gama / 2